直观想象下的数学解题思考1——重要性和必要性
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一、直观形成观念的容易性是教学的切入点
笛卡尔认为“观念”是我们与生俱来的，在“感官”所提供的机会之下，在我们心中自然而然形成与“感官”所提供的机会相对应的观念，只要我们的感官的需要，只要有相应的机会，我们就可以随时随地使用它们——从我们的心中调出相应的概念，使之出现在我们的思想里。可以理解为通过“感官”形成观念和使用都是容易的，对初学者来说直观也是必要的。
古罗马时期的教育家昆体良就提出了直观性的思想，夸美纽斯对于理论上的教学给予了理论上的阐明，并大大充实和具体化了它的内容，主张把教学应当从观察事物开始，在可能的范围以内，一切事物都应当放到感官面前。康德说“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进入到概念，而以理念结束。”
二、数学的抽象性决定了直观的必然性
认识事物应该从“感性”上升到“理性”，数学中很多公理、定理、公式等等就是认识上升到理性阶段的表现，而这些东西的高度抽象性以及脱离学生的生活实践，使得这个理解的过程对直观性的需求显得特别的强烈。
巴甫洛夫认为，大脑皮质最基本的活动是信号活动，从本质上可将条件刺激区分为两大类：一类是现实的具体的刺激，如声、光、电、味等刺激，称为第一信号；另一类是抽象刺激，即语言文字，称为第二信号。
如果给第二信号分一下级别，那数学的公式、定理等符号化语言一定处于非常高的级别，其刺激的效果极大地依赖于第二信号系统的建设情况，即学生所建立的知识结构和形成的思维水平，毫无疑问，对于绝大多数人，其效果是不理想的。按照巴浦洛夫的理论，即第二信号系统是在第一信号系统的基础上建立起来的，其实这就从生理学的角度解释了学生的认知过程是由“具体”到“抽象”。回顾我们的数学教学，无论是函数的性质还是具体函数的教学，我们都紧紧抓住图像特征建立起来学生更深层次的认识，而这样的建立方式更为容易、也更为牢固，由此我们可以从另外一个角度来解读“数”与“形”，即“数”是建立“形”的基础上，是对“形”的细化和深入。很多时候，我们类比一些事物的“形”来梳理知识、建构知识，这也是充分借助了学生的直观理解。夸美纽斯的话虽然有点偏激，但对于绝大多数学生，对于数学新课的教学完全可以视为“金科玉律”。
三、学生的认知水平决定了直观的必要性
现代教学论认为直观之所以必要，是由于学生对教材的理解总是建立在对事物感知的基础上，学生特别是青少年缺乏直接经验，在学习知识的过程中容易犯抽象、空洞、形式主义的毛病，还由于青少年年龄阶段的心理特征，是沿着由具体形象思维占优向抽象逻辑思维占优的趋势发展，教学要适应和促进这个过程。教学富于直观性，有助于解决名词术语脱离事物、抽象概念脱离具体形象、理解脱离感知等矛盾。鲜明生动的形象，容易吸引学生的注意，激发学习兴趣和热情，促进知识的理解和巩固。
四、形象思维之于创造力的意义突出直观想象的重要性
不同的信号活动会产生不同的思维方式和行为方式，所以我们就有逻辑思维和形象思维之说，形象思维不仅有助于逻辑思维培养，同样它也可以视为与逻辑思维并行的、非常重要的一种思维方式。
形象思维并不仅仅属于艺术家，它也是科学家进行科学发现和创造的一种重要的思维形式。例如，物理学中所有的形象模型，像电力线、磁力线、原子结构的汤姆生枣糕模型或卢瑟福小太阳系模型，都是物理学家抽象思维和形象思维结合的产物。爱因斯坦是一个具有极其深刻的逻辑思维能力的大师，但他却反对把逻辑方法视为唯一的科学方法，他十分善于发挥形象思维的自由创造力，他所构思的种种理想化实验就是运用形象思维的典型范例。这些理想化实验并不是对具体的事例运用抽象化的方法，舍弃现象，抽取本质，而是运用形象思维的方法，将表现一般、本质的现象加以保留，并使之得到集中和强化。例如，爱因斯坦著名的广义相对论的创立实际上就是起源于一个自由的想象。一天，爱因斯坦正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到，如果一个人自由下落，他是会感觉不到他的体重的。爱因斯坦说，这个简单的理想实验“对我影响至深，竟把我引向引力理论”。
五、数学是看出来的，直观想象引领思维的方向
【作者简介】
吕荣春，2010云南大学数学学院硕士研究生毕业，泸州高中，四川省泸州市江阳区。
1. 热爱教学，学习新课程和核心素养，对中学数学教学有着深刻的理解，在《中小学数学》、《中学数学》、《中学数学研究》、《理科考试》等等核心期刊发表过多篇论文，所带班级一直名列前茅。
2. 对数学高考题有着深入的、独到的研究，出版了《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》、《解析几何的系统性突破》、《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》、《立体几何的微观深入和宏观把握》、《全国卷高考数学分析及应对》、《新课标新高考下的数学习题精粹》、《统计概率的系统性解读》七部中学教辅，参与编写了《2018年高考数学案例赏析》等多本中学教辅资料。看到不少经典的高考题目，可以直接告诉这是哪一年、哪个省份、第几题，甚至对一些经典的考试题，可以直接说出考试中心的思路，各种解法，以及各种变式。多名学生考入北大清华、香港大学、加州大学伯克利分校等一流名校。
3. 对竞赛和自主招生有一定的研究，多名学生获得国家级奖项，且多人通过清北自主招生考试，并获得加分。